Numeri idonei

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Une introduction

Comme nous avons déjà commenté une fois, Leonhard Euler est le mathématicien le plus prolifique de l'histoire. Nous pouvons trouver son nom dans presque toutes les branches des mathématiques, de l'algèbre à une analyse complexe, en passant par géométrie et topologie. Mais le plus il recherche l'un à ses travaux plus est surpris. Autant que nous pensons que nous connaissons les travaux d'Euler il apparaît toujours par surprise avec un nouveau sujet qui nous était étranger. Ce même est ce qu'il m'a passé il y a quelques jours. Et, comment non, je vais vous le compter.

Numeri idonei

Dans une lettre dirigée au physicien suisse Nicolas Béguelin, à Euler il commentait le suivant :

Tous les nombres mesurés d'une seule une forme premier dans un son ou des doubles de cousins où et ils sont premiers entre soi. J'ai observé que d'autres expressions similaires de la forme jouissent de la même propriété en donnant à la lettre des valeurs convenables.

C'est, tout nombre qui peut s'exprimer d'une forme unique comment, pour et des cousins relatifs, il est premier ou le double d'un cousin. En particulier, tout nombre impair qui peut s'exprimer d'une forme unique dans le sens précédent est premier.

Mais encore il y a plus. Il sert pas seulement une expression du type, mais existent des certaines valeurs de tels qu'une expression du type accomplit la même propriété. À ces valeurs d'es auxquelles on les appelle numeri idonei (des nombres convenables ou des nombres idoines en espagnol et suitable numbers ou idoneal numbers en anglais).

Au moins c'était la définition initiale de nombre idoine. Mais cette forme de définir ce type de nombres présente quelques problèmes. Par exemple, c'est un nombre idoine (nous le verrons plus loin) et pour lui on accomplit que :

c'est la représentation unique de numéro 9 comme. Mais comme tous savons 9 il n'est pas premier, bien que oui ce soit une puissance d'un cousin, puisque. C'est pourquoi nous devrions dire que c'est un nombre idoine si tout nombre impair qui peut s'exprimer d'une forme unique comment il est premier ou promouvoir d'un cousin, mais on peut accorder un peu plus pour éliminer cette nouvelle possibilité, cela consiste, en ce que le nombre est une puissance d'un nombre premier (dans le premier lien des fontaines vous pouvez voir certains des conditions qui peuvent être ajoutées à la définition pour éviter cela).

En connaissant un peu la forme de travailler comme Euler n'importe quel il peut imaginer qu'il n'est pas resté là, que ses investigations sur ce sujet n'ont pas fini en établissement de la définition de ce type de nombres. En sachant de son caractère un investigateur l'un il tend à penser qu'il a plus essayé d'approfondir le sujet. Et ayant un peu d'information sur ses réussites il n'est pas difficile de se convaincre dont il l'a fait, et très profondément. Puisque oui, ainsi il a été. Euler a élaboré une liste de nombres idoines. C'est la suivante :

Dans un total 65 nombres qu'Euler a vérifié qu'ils étaient idoines (dans le sens commenté antérieurement). En fait il a plus recherché : il a utilisé elle est prête pour construire des nombres premiers même d'huit chiffres.

Arrivés à ce point le plus logique consiste en ce que nous posons la question suivante : l'ensemble de nombres idoines est-il infini ? La réponse est non. En 1934, le mathématicien Sarvadaman Chowla a démontré que l'ensemble de nombres idoines est fini.

En sachant cela une autre question nous surgit : y a-t-il plus de nombres idoines en dehors des trouvés par Euler ? Malheureusement pour cette question il n'y a pas encore de réponse, bien que oui existent des données. Il est connu concrètement qu'existe comme beaucoup encore un nombre idoine, en dehors desquels ils se trouvent dans la liste. Et qui si ce dernier nombre idoine existe en réalité, doit être plus grand que 100000000.

Un plus grand nombre premier trouvé avec les nombres idoines

Nous avons commenté avant qu'Euler qu'il a relativement utilisé ces nombres pour trouver des nombres premiers grades (jusqu'à huit chiffres). Le plus grand nombre premier qu'Euler a trouvé avec ce téctica a été. Pour démontrer que ce nombre d'huit chiffres sont premiers il faudrait vérifier que la solution unique de l'équation