La ligne de Nagel

Cet article est une collaboration envoyée par fede à gaussianos (un arrobe) gmail (un point) com.

Une brève description biographique de Nagel

Christian Heinrich von Nagel

Christian Heinrich von Nagel, géomètre allemand, est né le 28 février 1803 à Stuttgart, l'Allemagne, et une allemande est morte le 27 octobre 1882 dans aussi Ulm.

En 1821 Nagel a commencé à étudier la Théologie, en terminant ses études en 1825. Mais pendant ces quatre années ses intérêts se sont aussi dirigés vers les mathématiques et la physique.

Tant il a été dès qu'il est devenu professeur de mathématiques de secondaire dans la ville allemande de Tübingen. Mais la chose n'est pas restée là. En 1826 Nagel délivre un doctorat grâce à son travail De triangulis rectangulis à ex-aequatione construendis algébrique (Sur des triangles des rectangles construibles depuis une équation algébrique). Plus tard, en 1830, Nagel se déplace à Ulm où il travaille dans le Gymnasium (une école de secondaire préparatoire pour des études supérieures) de cette localité.

Sa contribution principale aux mathématiques est encadrée dans la géométrie du triangle. Dans cet article nous allons voir, entre d'autres choses, deux constructions relatives au triangle qui portent son nom : le point de Nagel et la ligne de Nagel.

Une introduction

Comme la distance du baricentro à un sommet est le double de la distance d'au point moyen du côté opposé, l'homotecia avec centre et raison-1/2 transforme le triangle, antimédial ou anticomplémentaire de, dans le triangle, et celui-ci dans son triangle médial ou complémentaire.

L'applet GeoGebra-Java n'a pas pu être exécuté.

Dans une géométrie du triangle il s'appelle parfois complément d'un point à son image dans l'homotecia et l'anticomplément d'à son image dans l'homotecia

Le point, un point, son complément, et son anticomplément ils sont alignés, et situés de telle manière que ce soit le point moyen de et.

Si dans la figure nous plaçons le point dans le circuncentro de, le point est le circuncentro du triangle antimédial (qui est l'ortocentro de), le point est le circuncentro du triangle médial (c'est-à-dire le centre du cercle de 9 points), et la ligne est la ligne d'Euler du triangle.

En revanche si nous plaçons le point à l'uncentre de, le point est l'uncentre du triangle antimédial, du point l'uncentre du triangle médial, et la ligne est la ligne que dans Wolfram MathWorld ils ont décidée de nommer un peu arbitrairement ligne de Nagel, par le fait que l'uncentre du triangle antimédial est le point de Nagel, comme nous démontrerons ensuite.

D'un autre côté le point de Spieker est par définition l'uncentre du triangle médial, et des observations précédentes on finit que l'uncentre, le baricentro, le point de Spieker et le point de Nagel sont alignés, c'est le point moyen du segment et.

Le point de Nagel

Nous sonnons ceviana de Nagel à la ligne, dans la figure, qui unit un sommet avec le point de tangence de la circonférence exinscrita opposée au sommet avec le côté opposé.

Le point, à l'être l'intersection de l'une tangente commune aux circonférences inscrite et exinscrita opposée à avec la ligne qui unit les centres de ces circonférences c'est un centre d'un homotecia qui transforme la circonférence exinscrita en circonférence inscrite. Cet homotecia porte le rayon au rayon, à la parallèle à et c'est pourquoi perpendiculaire à.

C'est pourquoi le ceviana passe par le point, diamétralement opposé dans le cercle inscrit au point de tangence de ce cercle avec le côté opposé à.

Comme nous avons vu dans le post sur les cercles tritangentes et c'est pourquoi si c'est le point moyen de.
Comme aussi, il résulte que les lignes parallèles et ils sont.

Et comme l'homotecia, qui transforme le triangle en son antimédial, transforme la ligne en ligne qui passe comme parallèle à c'est-à-dire dans le ceviana de Nagel $AE$, en ressort que les cevianas de Nagel concourent dans un point, le point de Nagel et ce point est l'uncentre du triangle antimédial.

Du post sur des cercles tritangentes nous concluons aussi que les cevianas de Nagel bissectent le périmètre du triangle c'est-à-dire les deux parties du périmètre du triangle situées à l'un et d'autre côté de chaque ceviana de Nagel ils ont une longitude égale.

Le point de Spieker

Le point de Spieker est le centre du cercle inscrit dans le triangle médial, ou je circule de Spieker, et il a quelques propriétés assez intéressantes.

Si dans la figure c'est le point moyen de et nous prolongeons le côté jusqu'à de telle manière que, et c'est le point moyen de, et elles sont parallèles et.

Camo $BE$ est perpendiculaire à $AH$, et cette ligne est le bisectriz extérieur de, $A_1F$ elle est parallèle au bisectriz intérieur de, et c'est pourquoi est un bisectriz du triangle médial.

C'est pourquoi les lignes qui unissent le point moyen de chaque côté avec le point de Spieker c'est-à-dire les bisectrices du triangle médial, bissectent le périmètre du triangle, comme les cevianas de Nagel.

Si, les segments sont respectivement égaux aux segments, et les points moyens de ces segments égaux sont situés à la même distance de la ligne.
Alors le centre de gravité d'une masse distribuée uniformément par le périmètre du triangle est dans la ligne $A_1F$. Comme il est aussi dans les autres bisectrices du triangle médial, il en ressort que le point de Spieker est le centre de gravité du périmètre du triangle.

Le point moyen d'es équidistant des points de tangence des circonférences exinscritas opposées à et avec le côté, et c'est pourquoi il est dans l'axe radical de ces circonférences.
Comme l'axe radical est perpendiculaire à la ligne qui unit les centres que c'est le bisectriz extérieur de l'angle dans il en ressort que l'axe radical des deux circonférences exinscritas est le bisectriz du triangle médial, et c'est pourquoi le point de Spieker est le centre radical des trois circonférences exinscritas c'est-à-dire les tangentes dès le point de Spieker exinscritas ont la même longitude envers les circonférences.

Les circonférences de Jenkins de son les trois circonférences tangentes intérieurement à une circonférence exinscrita et extérieurement aux autres deux.

Les trois circonférences de Jenkins se coupent dans le point de Spieker, puisque l'inversion au sujet du cercle orthogonal aux trois circonférences exinscritas, dont le centre est le point de Spieker, transforme les côtés du triangle en circonférences de Jenkins.

Et de plus si le point de Spieker est sur la circonférence inscrite dans, les trois circonférences de Jenkins sont tangentes à une ligne perpendiculaire à la ligne de Nagel, et dans un autre cas le centre de la circonférence tangente aux trois circonférences de Jenkins est dans la ligne de Nagel, parce que cette circonférence est inversée de la circonférence inscrite.

Certes ce dernier point n'est pas, il me paraît, dans ETC. : Sera-t-il nouveau ? Selon Geogebra trilineal pour (6,9,13) il y a sa 166.495 première coordonnée. et il ne se trouve pas à la page de recherche d'ETC.

La figure suivante essaie d'illustrer les propriétés précédentes.

L'applet GeoGebra-Java n'a pas pu être exécuté.

Des fontaines utilisées pour la description biographique :

• La page personnelle de Clark Kimberling, de l'Université d'Evansville, d'où je suis aussi sorti l'image de Nagel qui illustre le commencement de l'article.
• Christian Heinrich von Nagel dans la Wikipedia anglaise.