Le cicloide : quel est le plus court chemin ?

Cet article est mon apport la deuxième édition du Carnaval de mathématiques organisée par Juan Pablo.

Une introduction

Le monde des virages est un monde réellement intéressant. Nous pouvons nous trouver des formes de beaucoup de types, depuis des plus de connaissances comoun je segmente (oui, bien qu'à beaucoup il les surprenne un segment est un virage dans le sens mathématique du concept) ou une portion de circonférence, jusqu'à certains l'hipopede d'Eudoxo ou le cuadratriz.

Je sens ce monde si étendu des virages nous pouvons trouver plusieurs avec caractéristiques très intéressant. Le cicloide est, il n'y a pas de doute, l'une d'elles. Il a quelques propriétés très curieuses qui après être vu heurtent avec notre propre intuition. Ce virage va être la protagoniste de cet article.

Qu'est-ce que c'est le cicloide ?

Commençons ce point en présentant à notre amie le cicloide :

Le cicloide est le virage tracé par un point d'une circonférence (une soi-disant circonférence generatriz) quand celle-ci tourne sur une ligne (une soi-disant directrice droite) sans être glissé par elle.

C'est-à-dire le cicloide est le virage qui apparaît dans rouge dans le graphique suivant :

En vue d'une circonférence de rayon et un point de la même situé dans l'origine de coordonnées, les équations paramétricas d'un arc du cicloide généré par ce point après avoir tourné la circonférence sur l'axe sont :

, avec

Le cicloide a été un virage très étudié le long de l'histoire. Déjà à la fin du XVIe siècle, Galiléen il avait étudié ce virage, en obtenant des certaines approches sur les calculs relatifs à elle (en somme sur l'aire enfermée par un arc de cicloide). Mersenne, possiblement après avoir connu ces études de Galiléen, a attiré l'attention des mathématiciens de cette époque (nous sommes déjà au XVIIe siècle) vers ce virage. Et plusieurs ont été ceux qui se sont présentés à l'appel. Tant de c'était l'attente créée par ce virage qui a fini par se connaître comme l'Hellène des géomètres par la quantité de disputes entre les mathématiciens qui ont provoqué les études relatives à elle.

Le cas consiste en ce que l'un des premiers qui ont obtenu des résultats sur le cicloide a été Roberval. Mersenne lui a proposé en 1628 l'étude de ce virage et quelques années après, sur 1634, Roberval a démontré que l'aire enfermée par un arc de cicloide est exactement trois fois l'aire de la circonférence qui la génère. Plus loin une méthode a aussi trouvé pour tracer la tangente au cicloide un point n'importe quel de la même (le problème résolu aussi par Fermat et des Écarts) et il a réalisé un calcul mis en rapport à des volumes de révolution associés au cicloide.

Roberval n'a pas publié ces résultats dans son moment, puisqu'il voulait les garder dans un certain secret pour les utiliser comme les problèmes à proposer les candidats sa chaire. Par cela, quand Torricelli (le mathématicien qui s'est aussi intéressé à ce virage) a publié ses solutions à diverses des questions résolues par Roberval sans le mentionner, il a cru qu'il s'agissait d'un plagiat. Mais les études de Torricelli s'étaient développées dès une forme indépendante jusqu'à ceux de Roberval. Enfin l'histoire a été juste avec deux : Roberval a été le premier à trouver les solutions et Torricelli le premier à les publier.

Mais la chose n'est pas restée là. En 1658 Christopher Wren a cru que la longitude d'un arc de cicloide est quatre fois le diamètre de la circonférence qui génère le virage précité. Et bien d'autres ils ont été les mathématiciens qui lui ont consacré une partie de son temps, entre que trouvent illustres le Pascal, Huygens, Leibniz, Newton, Jakob et Johann Bernoulli …

Quelles propriétés a-t-il ?

Le grand intérêt suscité par ce virage provient des caractéristiques curieuses qu'il possède. En dehors des calculs déjà mentionnés, le cicloide a deux propriétés réellement intéressantes et que, comme pendeloque au début de l'article, d'une certaine manière ils attentent à notre intuition. C'est concrètement sa condition de braquistócrona et sa condition de tautócrona. Nous allons essayer d'expliquer quoi ils signifient ces deux propriétés.

Braquistocronía

Le terme braquistócrona signifie le moindre temps. Le problème du braquistócrona peut être énoncé de la forme suivante :

Vu un point dans un plan et un autre point du même plan situé verticalement plus bas que (sans arriver à être verticalement juste au-dessous de), sans trouver le virage qu'il unit et qui rend le temps minimal que tarde un point mobile à arriver d'à être soumis à l'action de la gravité

La situation des points est quelque chose de pareil :

En principe il ne serait pas étranger de penser que ce virage est une ligne droite (un segment dans ce cas), puisque dans un plan une ligne représente la plus courte distance entre deux points. Mais nous ne parlons pas des distances, mais des temps. Est-ce que la réponse continuera d'être aussi la ligne ? Voyons ce vidéo dans lequel apparaissent deux cicloides et un segment et répondons après :

Comme on peut voir les boules (le point mobile) ils arrivent avant au destin quand ils baissent par le cicloide. C'est-à-dire que dans le cicloide le temps de parcours est plus petit que dans un segment. En fait le cicloide minimise ce temps de parcours c'est-à-dire le cicloide est le braquistócrona. Un curieux: une vérité ?

Tautocronía

Le braquistocronía n'est pas la propriété unique curieuse du cicloide. En fait il a l'une qui est plus surprenante s'il tient. Nous pourrions l'énoncer de la manière suivante :

Supposons que nous ayons un cicloide qui "pend" vers le bas et que nous laissons tomber le long d'elle deux boules depuis différents points. La question consiste en ce que ça est égal depuis que nous elles laissons tomber des points puisque les boules arrivent en même temps à la limite inférieure.

Cette propriété est dénommée tautocronía (qui signifie le même temps). Nous allons le voir dans un vidéo :

Pour prendre fin je vous laisse ce lien. Il m'a semblé intéressant parce qu'en crevant dans chacun du quadrillage qui apparaît nous créons cicloides et nous pouvons graphiquement voir les deux propriétés commentées antérieurement.

Des fontaines :

• Une histoire de la mathématicienne, de Carl B. Boyer.
• Cicloide dans la Wikipedia espagnole.