En célébrant infiniment le jour de Pi

Quelques décimaux de Pi

Comme vous saurez plusieurs de vous aujourd'hui, le 14 mars, c'est le jour de Pi. si quelqu'un ne sait pas pourquoi, la raison consiste en ce que dans le monde anglo-saxon les dates il s'écrit de la forme le Mois / jour / année. De cette façon l'aujourd'hui serait 3/14.

Toutes les années j'écris quelque chose de relatif à Pi ce jour. Et cette année ne va pas être moins. Nous allons célébrer le jour de Pi de forme infinie.

D'une forme infinie ?

Nous allons célébrer ce jour de Pi de forme infinie en montrant les diverses sommes et les produits infinis où apparaît ce nombre merveilleux. Nous allons avec celles-ci :

• Comme il paraît, c'était François Viète qui a donné la première expression numérique exacte dans laquelle apparaît Pi. C'était concrètement ce produit infini :

  

• Cette expression, aussi comme produit infini, a été découverte par John Wallis :

• La somme fameuse du problème de la Bâle (et II) découverte par Leonhard Euler :

• Mais ni beaucoup moins cette a été suprême l'expression unique relative à Pi découverte par Euler. Le grand Leonhard a aussi trouvé des expressions du type précédent au moins : jusqu'à un représentant 26!!. Pour représentant 4 nous avons cette expression :

  Et pour représentant 6 celle-ci :

• Pero Euler a découvert bien d'autres expressions infinies, tant suprêmes comme produits, relatives à Pi. Certains d'entre elles sont les suivantes :

  Dans elle les numérateurs des fractions sont les nombres premiers excepté 3 et les dénominateurs portent une somme quand le nombre premier est de la forme et d'une soustraction quand il est de la forme.

  Ici les nombres impairs apparaissent comme dénominateurs et les signes se relaient + et - entre les fractions.

  Et dans cette expression ils apparaissent dans les dénominateurs des carrés de tous les nombres impairs qui ne sont pas multiples de 3.

• Newton a découvert l'expression suivante relative à Pi :

• À partir des certains résultats découverts par Euler nous pouvons arriver à la relation suivante :

• Plus loin dans le temps, concrètement en 1997, Bailey a trouvé la somme suivante sur Pi :

  

• Un chapitre à part, elles méritent, les expressions relatives à Pi découvertes par Ramanujan. Par exemple :

  

  Je recommande le lien à MathWorld qui apparaît à la fin de l'article pour voir d'autres expressions de ce style dont le découvreur a été Ramanujan.

• Et pour prendre fin, vous a laissés un monstre d'expression numérique découverte par les frères Chudnosky. C'est l'une des expressions les plus puissantes à l'heure de calculer décimaux de Pi (il calcule 14 décimaux exact dans chaque pas).

  C'est la suivante :

Je m'ai laissé beaucoup d'expressions dont le protagoniste est Pi. Si vous connaissez quelque chose qui n'apparaît pas dans cet article et vous croyez qu'il est important ou intéressant ne doutez pas de l'écrire dans les commentaires.

D'autres jours de Pi dans Gaussianos :

• Le jour de Pi et Le jour de Pi II en 2007.
• Comment démontrer que Pi est irraisonnable (II) en 2008.
• En célébrant le jour de Pi avec une aiguille et une méduse en 2009.

Des fontaines :

• Une histoire de la mathématicienne, de Carl B. Boyer.
• Introductio in Analysin Infinitorum, de Leonhard Euler.
• Pi tu rédiges des formules dans MathWorld.
• L'image qui illustre cet article est sortie de ce set de Flickr.