La chose unique est 26

Une introduction

Il fait déjà assez de temps nous commentons une propriété curieuse de numéro 26. C'est concrètement celle-ci :

Numéro 26 est le nombre unique naturel qui est situé entre un carré () et un cube ().

C'était Fermat qui a démontré le résultat précité, mais dans le post où nous nous rendions compte de cette caractéristique de 26 aucune épreuve de ce fait ne se rendait. C'était Juanbuffer qui apportait dans un commentaire un pdf avec une démonstration du même (qui si je ne me rappelle pas mal n'était pas en espagnol). Il semble malheureusement que l'on ne peut pas déjà accéder au document précité (au moins je ne peux pas). Pour ce motif je me suis mis à chercher … et je l'ai trouvée. Mon Carlos Ivorra étonné est celui qui m'a fourni l'épreuve précitée. Eh bien, en réalité je ne sais pas si elle est la sienne, mais il apparaît dans l'un des livres dans un format pdf qu'il a comme disponibles dans son web : Une théorie de Nombres.

Dans cet article vous allez pouvoir voir cette démonstration.

L'unicidad de 26

En réalité la démonstration que je vais vous présenter du fait de ce que 26 est le nombre unique naturel avec la propriété mentionnée est antérieurement relativement élémentaire. L'intéressant de l'épreuve consiste en ce qu'il sort de l'ensemble des nombres naturels pour démontrer une caractéristique dans. Le fait s'appuyer sur l'ensemble plus grand qui pour démontrer quelque chose dans lui est un argument assez utile, fait dont beaucoup de mathématiciens ont profité quand ils se sont convaincus de la puissance de l'argument précité.

Centrémonos dans le sujet. Nous allons faire la démonstration dans (les nombres entiers). Alors l'énoncé du résultat à démontrer le suivant :

Un théorème :

Les solutions uniques entières de l'équation

ils sont.

Une démonstration :

Un coup d'oeil simple à l'équation nous dit que cela ne peut pas être un nombre pair. Si le dehors nous aurions que ce serait aussi une paire. La contradiction se trouverait dans le fait que la partie droite de l'égalité serait divisible entre 8, mais la partie gauche ne serait pas même ni divisible entre 4. C'est pourquoi cela doit être un nombre impair.

Nous sortons maintenant de pour nous enfoncer dans l'anneau. Nous considérons que l'équation précédente dans cet anneau son expression peut se rendre factorizada de la manière suivante :

Nous considérons dans cet anneau la norme suivante :

Il est simple de vérifier que la norme précitée est multiplicativa, cela consiste, en ce qu'elle est positive pour tout élément différent de zéro de, qu'il y a zéro zéro pour l'élément et que la norme d'un produit de deux éléments d'es le produit des normes de proverbe éléments.

Supposons maintenant qu'ils accomplissent l'équation initiale et prenons les éléments et de. Tout élément qui est un diviseur commun d'eux deux doit aussi diviser à sa somme, et à sa différence. En prenant des normes dans cette situation nous aurions le suivant :

C'est pourquoi. Les paires uniques de valeurs qui accomplissent ce sont ceux suivant :

Avec les deux premières possibilités nous obtenons les éléments et-1$ de qui sont unités de cet anneau. Dans des autres cas nous obtenons les éléments et, tous avec norme la paire (2 ó 4), donc ils ne peuvent pas diviser à, dont la norme () est impaire.

Avec cela nous arrivons au suivant : et voilà qu'ils sont premiers entre soi.

Maintenant, nous avions l'équation initiale factorizada de la forme suivante :

En unissant ces deux faits nous avons que le produit de deux éléments dont ils sont premiers est entre soi égal à un cube. Cela oblige à que chacun de ces éléments est lui même un cube. En particulier :

Développons maintenant la partie droite de cette dernière égalité :

En égalisant des coefficients des expressions initiales et finales nous arrivons à l'égalité suivante :

Une analyse simple des valeurs de et il nous porte à que les valeurs uniques possibles sont et (rappelons-nous que et ce sont des nombres entiers). Pour obtenemos que et d'où le fait que. Et pour obtenemos et c'est pourquoi qui est le résultat cherché.

Connaissez-vous une autre démonstration de ce fait ? Les commentaires sont les votres.