Un homme de science méritant de tel nom, surtout un mathématicien, expérimente à son travail la même impression qu'un artiste; son plaisir est si grand et de la même nature.
Jules Henri Poincaré
INFINITUM. Des rendez-vous mathématiques
Bien que beaucoup de gens ne le comprennent pas, le mathématicien expérimente une sensation magnifique en réalisant son travail. Comme le dit Poincaré, un grand plaisir; et, comme le dit Isa, un subidón.
Qu'est-ce que vous pensez ?
Je vous laisse le problème de cette semaine, dans ce cas relatif à l'année dans laquelle nous sommes :
Démontrer que pour n'importe quels nombres réels positifs on vérifie que
Une chance.
Cet article est une collaboration envoyée par fede à gaussianos (un arrobe) gmail (un point) com.
Une brève description biographique de Nagel 
Christian Heinrich von Nagel
Christian Heinrich von Nagel, géomètre allemand, est né le 28 février 1803 à Stuttgart, l'Allemagne, et une allemande est morte le 27 octobre 1882 dans aussi Ulm.En 1821 Nagel a commencé à étudier la Théologie, en terminant ses études en 1825. Mais pendant ces quatre années ses intérêts se sont aussi dirigés vers les mathématiques et la physique.
Tant il a été dès qu'il est devenu professeur de mathématiques de secondaire dans la ville allemande de Tübingen. Mais la chose n'est pas restée là. En 1826 Nagel délivre un doctorat grâce à son travail De triangulis rectangulis à ex-aequatione construendis algébrique (Sur des triangles des rectangles construibles depuis une équation algébrique). Plus tard, en 1830, Nagel se déplace à Ulm où il travaille dans le Gymnasium (une école de secondaire préparatoire pour des études supérieures) de cette localité.
Sa contribution principale aux mathématiques est encadrée dans la géométrie du triangle. Dans cet article nous allons voir, entre d'autres choses, deux constructions relatives au triangle qui portent son nom : le point de Nagel et la ligne de Nagel.
Une introduction Comme la distance du baricentro à un sommet est le double de la distance d'au point moyen du côté opposé, l'homotecia avec centre et raison-1/2 transforme le triangle, antimédial ou anticomplémentaire de, dans le triangle, et celui-ci dans son triangle médial ou complémentaire.
L'applet GeoGebra-Java n'a pas pu être exécuté.
Dans une géométrie du triangle il s'appelle parfois complément d'un point à son image dans l'homotecia et l'anticomplément d'à son image dans l'homotecia
Le point, un point, son complément, et son anticomplément ils sont alignés, et situés de telle manière que ce soit le point moyen de et.
Si dans la figure nous plaçons le point dans le circuncentro de, le point est le circuncentro du triangle antimédial (qui est l'ortocentro de), le point est le circuncentro du triangle médial (c'est-à-dire le centre du cercle de 9 points), et la ligne est la ligne d'Euler du triangle.
En revanche si nous plaçons le point à l'uncentre de, le point est l'uncentre du triangle antimédial, du point l'uncentre du triangle médial, et la ligne est la ligne que dans Wolfram MathWorld ils ont décidée de nommer un peu arbitrairement ligne de Nagel, par le fait que l'uncentre du triangle antimédial est le point de Nagel, comme nous démontrerons ensuite.
D'un autre côté le point de Spieker est par définition l'uncentre du triangle médial, et des observations précédentes on finit que l'uncentre, le baricentro, le point de Spieker et le point de Nagel sont alignés, c'est le point moyen du segment et.
Le point de Nagel 
Nous sonnons ceviana de Nagel à la ligne, dans la figure, qui unit un sommet avec le point de tangence de la circonférence exinscrita opposée au sommet avec le côté opposé.
Le point, à l'être l'intersection de l'une tangente commune aux circonférences inscrite et exinscrita opposée à avec la ligne qui unit les centres de ces circonférences c'est un centre d'un homotecia qui transforme la circonférence exinscrita en circonférence inscrite. Cet homotecia porte le rayon au rayon, à la parallèle à et c'est pourquoi perpendiculaire à.
C'est pourquoi le ceviana passe par le point, diamétralement opposé dans le cercle inscrit au point de tangence de ce cercle avec le côté opposé à.
Comme nous avons vu dans le post sur les cercles tritangentes et c'est pourquoi si c'est le point moyen de.
Comme aussi, il résulte que les lignes parallèles et ils sont.
Et comme l'homotecia, qui transforme le triangle en son antimédial, transforme la ligne en ligne qui passe comme parallèle à c'est-à-dire dans le ceviana de Nagel $AE$, en ressort que les cevianas de Nagel concourent dans un point, le point de Nagel et ce point est l'uncentre du triangle antimédial.
Du post sur des cercles tritangentes nous concluons aussi que les cevianas de Nagel bissectent le périmètre du triangle c'est-à-dire les deux parties du périmètre du triangle situées à l'un et d'autre côté de chaque ceviana de Nagel ils ont une longitude égale.
Le point de SpiekerLe point de Spieker est le centre du cercle inscrit dans le triangle médial, ou je circule de Spieker, et il a quelques propriétés assez intéressantes.
Si dans la figure c'est le point moyen de et nous prolongeons le côté jusqu'à de telle manière que, et c'est le point moyen de, et elles sont parallèles et.
Camo $BE$ est perpendiculaire à $AH$, et cette ligne est le bisectriz extérieur de, $A_1F$ elle est parallèle au bisectriz intérieur de, et c'est pourquoi est un bisectriz du triangle médial.
C'est pourquoi les lignes qui unissent le point moyen de chaque côté avec le point de Spieker c'est-à-dire les bisectrices du triangle médial, bissectent le périmètre du triangle, comme les cevianas de Nagel.
Si, les segments sont respectivement égaux aux segments, et les points moyens de ces segments égaux sont situés à la même distance de la ligne.
Alors le centre de gravité d'une masse distribuée uniformément par le périmètre du triangle est dans la ligne $A_1F$. Comme il est aussi dans les autres bisectrices du triangle médial, il en ressort que le point de Spieker est le centre de gravité du périmètre du triangle.
Le point moyen d'es équidistant des points de tangence des circonférences exinscritas opposées à et avec le côté, et c'est pourquoi il est dans l'axe radical de ces circonférences.
Comme l'axe radical est perpendiculaire à la ligne qui unit les centres que c'est le bisectriz extérieur de l'angle dans il en ressort que l'axe radical des deux circonférences exinscritas est le bisectriz du triangle médial, et c'est pourquoi le point de Spieker est le centre radical des trois circonférences exinscritas c'est-à-dire les tangentes dès le point de Spieker exinscritas ont la même longitude envers les circonférences.
Les circonférences de Jenkins de son les trois circonférences tangentes intérieurement à une circonférence exinscrita et extérieurement aux autres deux.
Les trois circonférences de Jenkins se coupent dans le point de Spieker, puisque l'inversion au sujet du cercle orthogonal aux trois circonférences exinscritas, dont le centre est le point de Spieker, transforme les côtés du triangle en circonférences de Jenkins.
Et de plus si le point de Spieker est sur la circonférence inscrite dans, les trois circonférences de Jenkins sont tangentes à une ligne perpendiculaire à la ligne de Nagel, et dans un autre cas le centre de la circonférence tangente aux trois circonférences de Jenkins est dans la ligne de Nagel, parce que cette circonférence est inversée de la circonférence inscrite.
Certes ce dernier point n'est pas, il me paraît, dans ETC. : Sera-t-il nouveau ? Selon Geogebra trilineal pour (6,9,13) il y a sa 166.495 première coordonnée. et il ne se trouve pas à la page de recherche d'ETC.
La figure suivante essaie d'illustrer les propriétés précédentes.
L'applet GeoGebra-Java n'a pas pu être exécuté.
Des fontaines utilisées pour la description biographique :
Dans une compagnie d'amis, les écrivains peuvent discuter sur ses livres, les économistes sur l'état de l'économie, les avocats ses derniers procès et les hommes d'affaires ses dernières acquisitions, mais les mathématiciens ne peuvent pas du tout parler de ses mathématiques. Et le plus profond, il est, son travail, moins compréhensible il est.
Alfred Adler
INFINITUM. Des rendez-vous mathématiques
Je suis d'accord avec Adler. Pour un mathématicien il est très compliqué de lui expliquer quelqu'un qui n'est pas très mis dans le sujet ce qui est ce qu'il fait. Une sécurité que certains d'entre vous vous vous êtes trouvés dans une situation pareille une fois. Les commentaires sont la meilleure manière de compter vos expériences.
Watch Melrose Place (2009) S01E14 Stoner Canyon nowCet article a été provoqué pour apparaître sur la couverture de Remue-moi. S'il t'a plu et tu veux le voter entre dans ce lien et un faisceau click dans Remue-le.
Une introduction 
Dans une lettre dirigée au physicien suisse Nicolas Béguelin, à Euler il commentait le suivant :
Tous les nombres mesurés d'une seule une forme premier dans un son ou des doubles de cousins où et ils sont premiers entre soi. J'ai observé que d'autres expressions similaires de la forme jouissent de la même propriété en donnant à la lettre des valeurs convenables.
C'est, tout nombre qui peut s'exprimer d'une forme unique comment, pour et des cousins relatifs, il est premier ou le double d'un cousin. En particulier, tout nombre impair qui peut s'exprimer d'une forme unique dans le sens précédent est premier.
Mais encore il y a plus. Il sert pas seulement une expression du type, mais existent des certaines valeurs de tels qu'une expression du type accomplit la même propriété. À ces valeurs d'es auxquelles on les appelle numeri idonei (des nombres convenables ou des nombres idoines en espagnol et suitable numbers ou idoneal numbers en anglais).
Au moins c'était la définition initiale de nombre idoine. Mais cette forme de définir ce type de nombres présente quelques problèmes. Par exemple, c'est un nombre idoine (nous le verrons plus loin) et pour lui on accomplit que :
c'est la représentation unique de numéro 9 comme. Mais comme tous savons 9 il n'est pas premier, bien que oui ce soit une puissance d'un cousin, puisque. C'est pourquoi nous devrions dire que c'est un nombre idoine si tout nombre impair qui peut s'exprimer d'une forme unique comment il est premier ou promouvoir d'un cousin, mais on peut accorder un peu plus pour éliminer cette nouvelle possibilité, cela consiste, en ce que le nombre est une puissance d'un nombre premier (dans le premier lien des fontaines vous pouvez voir certains des conditions qui peuvent être ajoutées à la définition pour éviter cela).
En connaissant un peu la forme de travailler comme Euler n'importe quel il peut imaginer qu'il n'est pas resté là, que ses investigations sur ce sujet n'ont pas fini en établissement de la définition de ce type de nombres. En sachant de son caractère un investigateur l'un il tend à penser qu'il a plus essayé d'approfondir le sujet. Et ayant un peu d'information sur ses réussites il n'est pas difficile de se convaincre dont il l'a fait, et très profondément. Puisque oui, ainsi il a été. Euler a élaboré une liste de nombres idoines. C'est la suivante :
Dans un total 65 nombres qu'Euler a vérifié qu'ils étaient idoines (dans le sens commenté antérieurement). En fait il a plus recherché : il a utilisé elle est prête pour construire des nombres premiers même d'huit chiffres.
Arrivés à ce point le plus logique consiste en ce que nous posons la question suivante : l'ensemble de nombres idoines est-il infini ? La réponse est non. En 1934, le mathématicien Sarvadaman Chowla a démontré que l'ensemble de nombres idoines est fini.
En sachant cela une autre question nous surgit : y a-t-il plus de nombres idoines en dehors des trouvés par Euler ? Malheureusement pour cette question il n'y a pas encore de réponse, bien que oui existent des données. Il est connu concrètement qu'existe comme beaucoup encore un nombre idoine, en dehors desquels ils se trouvent dans la liste. Et qui si ce dernier nombre idoine existe en réalité, doit être plus grand que 100000000.
Un plus grand nombre premier trouvé avec les nombres idoinesNous avons commenté avant qu'Euler qu'il a relativement utilisé ces nombres pour trouver des nombres premiers grades (jusqu'à huit chiffres). Le plus grand nombre premier qu'Euler a trouvé avec ce téctica a été. Pour démontrer que ce nombre d'huit chiffres sont premiers il faudrait vérifier que la solution unique de l'équation
Il fait déjà assez de temps nous commentons une propriété curieuse de numéro 26. C'est concrètement celle-ci :
Numéro 26 est le nombre unique naturel qui est situé entre un carré () et un cube ().
C'était Fermat qui a démontré le résultat précité, mais dans le post où nous nous rendions compte de cette caractéristique de 26 aucune épreuve de ce fait ne se rendait. C'était Juanbuffer qui apportait dans un commentaire un pdf avec une démonstration du même (qui si je ne me rappelle pas mal n'était pas en espagnol). Il semble malheureusement que l'on ne peut pas déjà accéder au document précité (au moins je ne peux pas). Pour ce motif je me suis mis à chercher … et je l'ai trouvée. Mon Carlos Ivorra étonné est celui qui m'a fourni l'épreuve précitée. Eh bien, en réalité je ne sais pas si elle est la sienne, mais il apparaît dans l'un des livres dans un format pdf qu'il a comme disponibles dans son web : Une théorie de Nombres.
Dans cet article vous allez pouvoir voir cette démonstration.
En réalité la démonstration que je vais vous présenter du fait de ce que 26 est le nombre unique naturel avec la propriété mentionnée est antérieurement relativement élémentaire. L'intéressant de l'épreuve consiste en ce qu'il sort de l'ensemble des nombres naturels pour démontrer une caractéristique dans. Le fait s'appuyer sur l'ensemble plus grand qui pour démontrer quelque chose dans lui est un argument assez utile, fait dont beaucoup de mathématiciens ont profité quand ils se sont convaincus de la puissance de l'argument précité.
Centrémonos dans le sujet. Nous allons faire la démonstration dans (les nombres entiers). Alors l'énoncé du résultat à démontrer le suivant :
Un théorème :
Les solutions uniques entières de l'équation
ils sont.
Une démonstration :
Un coup d'oeil simple à l'équation nous dit que cela ne peut pas être un nombre pair. Si le dehors nous aurions que ce serait aussi une paire. La contradiction se trouverait dans le fait que la partie droite de l'égalité serait divisible entre 8, mais la partie gauche ne serait pas même ni divisible entre 4. C'est pourquoi cela doit être un nombre impair.
Nous sortons maintenant de pour nous enfoncer dans l'anneau. Nous considérons que l'équation précédente dans cet anneau son expression peut se rendre factorizada de la manière suivante :
Nous considérons dans cet anneau la norme suivante :
Il est simple de vérifier que la norme précitée est multiplicativa, cela consiste, en ce qu'elle est positive pour tout élément différent de zéro de, qu'il y a zéro zéro pour l'élément et que la norme d'un produit de deux éléments d'es le produit des normes de proverbe éléments.
Supposons maintenant qu'ils accomplissent l'équation initiale et prenons les éléments et de. Tout élément qui est un diviseur commun d'eux deux doit aussi diviser à sa somme, et à sa différence. En prenant des normes dans cette situation nous aurions le suivant :
C'est pourquoi. Les paires uniques de valeurs qui accomplissent ce sont ceux suivant :
Avec les deux premières possibilités nous obtenons les éléments et-1$ de qui sont unités de cet anneau. Dans des autres cas nous obtenons les éléments et, tous avec norme la paire (2 ó 4), donc ils ne peuvent pas diviser à, dont la norme () est impaire.
Avec cela nous arrivons au suivant : et voilà qu'ils sont premiers entre soi.
Maintenant, nous avions l'équation initiale factorizada de la forme suivante :
En unissant ces deux faits nous avons que le produit de deux éléments dont ils sont premiers est entre soi égal à un cube. Cela oblige à que chacun de ces éléments est lui même un cube. En particulier :
Développons maintenant la partie droite de cette dernière égalité :
En égalisant des coefficients des expressions initiales et finales nous arrivons à l'égalité suivante :
Une analyse simple des valeurs de et il nous porte à que les valeurs uniques possibles sont et (rappelons-nous que et ce sont des nombres entiers). Pour obtenemos que et d'où le fait que. Et pour obtenemos et c'est pourquoi qui est le résultat cherché.
Connaissez-vous une autre démonstration de ce fait ? Les commentaires sont les votres.
À la vue du titre du post, il est assez clair, le thème du problème de cette semaine: une vérité ? Là il va :
Il calcule le plus grand commun diviseur suivant :
Une chance.
Il n'est pas possible qu'existent des nombres dépourvus d'intérêt donc d'ils existent, le premier d'eux serait déjà intéressant à cause du même manque d'intérêt.
Martin Gardner
INFINITUM. Des rendez-vous mathématiques
Le raisonnement intéressant de monsieur Gardner, qui vient de plus aux cheveux quand, elle a vu, la propriété intéressante de numéro 26 que je vous ai montrés fait une paire de jours.
L'université est l'une des meilleures étapes dans la vie d'un étudiant, au moins sous mon point de vue. Dans cette époque de la vie académique l'un s'enfonce dans un monde totalement nouveau, dans lequel vivent une multitude d'histoires et dans celui qui connaît beaucoup de gens.
Au moins c'était mon cas. J'ai eu de la chance de me trouver avec de très bonnes personnes dans mon étape universitaire à Grenade, les personnes qui m'ont beaucoup aidé dans ces moments et avec qui j'ai partagé des expériences inoubliables. Malheureusement restent toujours les gens à qui tu n'arrives pas à être lié tant, bien qu'il n'y ait pas de raison de cela. Les gens qui partagent chaque jour avec toi mais avec qui tu n'as pas tant de contact.
Bien que déjà cela fait déjà quelques années que finît cette période je continue de rappeler plusieurs de mes collègues, tant au plus voisin (évident) comme ceux qui le n'ont pas été tant. Isa appartient, malheureusement, à ce dernier groupe. Et voilà que je dis malheureusement parce qu'elle m'a toujours semblé une personne magnifique, toujours avec un sourire dans la bouche, toujours disposée à jeter une main. Et, en m'enfonçant déjà dans la partie académique, parce qu'elle a toujours été une brillante étudiante. Et quand je dis brillant je veux dire terriblement brillant. Lola, l'une de ses amies dans cette époque (je ne sais pas si, avant de déjà commencer la course, vous vous connaissiez), peut confirmer qu'Isa a toujours été au-dessus de tous ceux que nous partageons une classe avec elle. Pour ce motif je ne suis pas étonné qu'il soit arrivé jusqu'à où il est arrivé. Et pour être, comme il est je suis contente une barbarie.
Isabelle Fernández
Isabelle Fernández, née au Linares le 16 août 1979, a commencé sa Maîtrise dans les Sciences Mathématiques dans le cours 1997-98 dans l'Université de Grenade. Selon ses propres mots, depuis le principe lui a attiré l'attention la géométrie (à aucun de ceux que nous savons ton cours sublime de Géométrie III avec Paco Martín nous étonne cela). Même tel point est arrivé la chose dont il a profité dans ses deux dernières années de course de deux bourses de recherche dans le département de Géométrie et de Topologie dans l'université précitée.Après avoir passé par la Murcie et le Badajoz, il est actuellement un Professeur Salarié Délivre un doctorat du département de Mathématiques Appliquées à I de l'Université de Séville.
À la direction de l'ICM Eh bien: et qu'est-ce qui est ce qu'Isa a obtenu ? Puisqu'un peu si important comme être la première femme espagnole qui reçoit une invitation pour assister comme rapporteur dans l'ICM. Presque pas tout à fait. 
Pablo Mira
L'invitation précitée lui est arrivée par ses travaux des surfaces de courbure moyenne constante et tant elle comme son collègue Pablo Mira vont être ceux qui communiquent les résultats qu'ils ont obtenus dans ce congrès très important.La nouvelle de cette invitation à l'ICM m'est arrivée à travers de Remue-moi (le lien est à la fin de cet article). Plus rien, la voir, je me suis mis à chercher une manière de contacter Isa pour la féliciter et pour lui commenter qu'il voulait écrire quelque chose au sujet d'elle dans Gaussianos, blog que, certes, il connaissait déjà à travers de Lola (merci). Après se sont croisées quelques postes, Isa m'a commenté qu'il essaierait d'écrire quelque chose en expliquant en quoi consiste le travail que Pablo et elle ils ont réalisé et qui leur a servi pour aller à l'ICM. Qui meilleur qu'elle pour l'expliquer ?
Les travaux d'Isa et de PabloEh bien, il est temps déjà que nous savons pourquoi ils ont invité l'ICM à Isa et à Pablo. Le texte suivant est ce qu'Isa a écrit pour moi et pour tous vous en nous expliquant ses travaux.
Des surfaces de courbure moyenne constante (CMC)
Un concept très important à l'heure d'étudier des surfaces est celui de la courbure moyenne, qui nous donne une mesure de comment se courbe la surface dans l'espace. L'idée est la suivante : pour chaque point P de la surface nous considérons toutes les sections normales de la surface qui passent par ce point que ce sont les virages qui sont obtenus après avoir coupé la surface avec tous les plans perpendiculaires à la même dans le point P. De tous ces virages nous restons avec celles qui ont une courbure plus grande et plus petite (les soi-disant directions principales), ces directions marquent le maximal que nous pouvons nous courber vers un côté ou vers l'autre sur la surface.
Si nous sonnons et aux courbures des deux directions principales, la courbure moyenne dans ce point est, précisément, le bas arithmétique entre deux heures :
Les surfaces qui ont la même courbure moyenne dans tous ses points appellent surfaces de curvartura (CMC) constant moyen, et ont les propriétés géométriques qui les rendent très intéressantes.
Par exemple, les surfaces de CMC égal à zéro sont appelées des surfaces minimales, le nom qui provient du fait dont ces surfaces sont celles qui ont une aire plus petite d'entre toutes les surfaces avec le même contour (localement c'est-à-dire en considérant des morceaux suffisamment petits de la surface). Cette propriété est précisément celle qu'il caractérise aux films de savon (c'est la première des lois fameuses de Plateu, qui régissent le comportement des films de savon). Cela nous permet de caractériser les surfaces minimales comme celles-là dans laquel, si nous découpons un petit morceau de la surface et nous mettons le reste de surface dans une eau avec savon, le film qui se forme dans le creux laissé par la coupe a justement la même forme que le morceau original.
Eh bien, tout le précédent se référait aux surfaces qui vivent dans l'espace usuel (l'espace euclídeo tridimensionnel), mais les surfaces de CMC en général, et les surfaces minimales en particulier, existent dans tout type d'espaces, et une branche de la Théorie de Surfaces de grande importance est actuellement l'étude des surfaces de CMC dans des espaces homogènes. Et qu'est-ce que c'est un espace homogène ? Puisque dit à de grands traits, c'est un espace qui est égal dans tous ses points c'est-à-dire il n'a pas de points spéciaux (bien que oui il puisse y avoir des directions spéciales). Évidemment l'espace euclídeo est un espace homogène, mais il y a plus. Pensons par exemple à un cylindre sur une sphère c'est-à-dire l'espace produit. Dans ce cylindre tous les points sont égaux, mais il semble évident que la direction verticale (celle du facteur) est spéciale. Les espaces homogènes tridimensionnels sont très étudiés, et son classement garde beaucoup de relation avec les géométrie fameuses de Thurston, mises en rapport à la conjecture de Poincaré.
Et c'est le champ dans lequel avons travaillé Pablo Mira et moi dans les dernières années (dès 2005) et sur lequel ils nous ont invité à donner une conférence dans l'ICM (qui portera probablement par titre Thusrton 3 - dimensionnel geometries).
Que pourquoi nous ? Puisque basiquement grâce à deux articles que nous avons publiés sur le sujet et dans lesquels nous avons résolu l'un des problèmes ouverts sur des surfaces minimales dans des espaces homogènes de plus d'actualité dans ce moment. J'essaierai d'expliquer brièvement en quoi il consiste.
L'un des problèmes basiques sur des surfaces minimales est le soi-disant problème de Bernstein, qui consiste à classer les surfaces minimales qui sont grafos surtout un plan. Dans l'espace euclídeo ce problème a été résolu en 1915 par le propre Bernstein qu'il a démontré que les choses uniques grafos minimaux entiers sont les plans.
L'un des espaces homogènes les plus étudiés est l'espace de Heisenberg. Cet espace est (topológicamente) comme l'espace usuel, mais avec une métrique distincte. C'est-à-dire la forme de mesurer des distances (et c'est pourquoi tout le relatif à la courbure) est distincte. Dans cet espace la direction verticale est spéciale, et a des propriétés différentes des directions horizontales. Dans l'espace de Heisenberg il a comme c'est pourquoi senti se pose le problème de Bernstein que nous commentons antérieurement c'est-à-dire classer les grafos entiers minimaux dans l'espace de Heisenberg.
Résoudre ce problème a été notre plus grand apport cette théorie. En 2007, et grâce à un premier travail de 2005, Pablo et moi classons la famille de grafos l'entier minimal de l'espace de Heisenberg qui, contrairement à ce qu'il succède dans l'espace euclídeo, est une très grande famille, parametrizada dans des termes de différentielles quadratiques holomorfas, qui sont obtenus à partir d'une application harmonique sur la surface, mais c'est déjà un autre sujet …
Des liens relatifs :
Cet article est mon apport la deuxième édition du Carnaval de mathématiques organisée par Juan Pablo.
Une introductionLe monde des virages est un monde réellement intéressant. Nous pouvons nous trouver des formes de beaucoup de types, depuis des plus de connaissances comoun je segmente (oui, bien qu'à beaucoup il les surprenne un segment est un virage dans le sens mathématique du concept) ou une portion de circonférence, jusqu'à certains l'hipopede d'Eudoxo ou le cuadratriz.
Je sens ce monde si étendu des virages nous pouvons trouver plusieurs avec caractéristiques très intéressant. Le cicloide est, il n'y a pas de doute, l'une d'elles. Il a quelques propriétés très curieuses qui après être vu heurtent avec notre propre intuition. Ce virage va être la protagoniste de cet article.
Qu'est-ce que c'est le cicloide ?
Commençons ce point en présentant à notre amie le cicloide :
Le cicloide est le virage tracé par un point d'une circonférence (une soi-disant circonférence generatriz) quand celle-ci tourne sur une ligne (une soi-disant directrice droite) sans être glissé par elle.
C'est-à-dire le cicloide est le virage qui apparaît dans rouge dans le graphique suivant :
En vue d'une circonférence de rayon et un point de la même situé dans l'origine de coordonnées, les équations paramétricas d'un arc du cicloide généré par ce point après avoir tourné la circonférence sur l'axe sont :
, avec
Le cicloide a été un virage très étudié le long de l'histoire. Déjà à la fin du XVIe siècle, Galiléen il avait étudié ce virage, en obtenant des certaines approches sur les calculs relatifs à elle (en somme sur l'aire enfermée par un arc de cicloide). Mersenne, possiblement après avoir connu ces études de Galiléen, a attiré l'attention des mathématiciens de cette époque (nous sommes déjà au XVIIe siècle) vers ce virage. Et plusieurs ont été ceux qui se sont présentés à l'appel. Tant de c'était l'attente créée par ce virage qui a fini par se connaître comme l'Hellène des géomètres par la quantité de disputes entre les mathématiciens qui ont provoqué les études relatives à elle.
Le cas consiste en ce que l'un des premiers qui ont obtenu des résultats sur le cicloide a été Roberval. Mersenne lui a proposé en 1628 l'étude de ce virage et quelques années après, sur 1634, Roberval a démontré que l'aire enfermée par un arc de cicloide est exactement trois fois l'aire de la circonférence qui la génère. Plus loin une méthode a aussi trouvé pour tracer la tangente au cicloide un point n'importe quel de la même (le problème résolu aussi par Fermat et des Écarts) et il a réalisé un calcul mis en rapport à des volumes de révolution associés au cicloide.
Roberval n'a pas publié ces résultats dans son moment, puisqu'il voulait les garder dans un certain secret pour les utiliser comme les problèmes à proposer les candidats sa chaire. Par cela, quand Torricelli (le mathématicien qui s'est aussi intéressé à ce virage) a publié ses solutions à diverses des questions résolues par Roberval sans le mentionner, il a cru qu'il s'agissait d'un plagiat. Mais les études de Torricelli s'étaient développées dès une forme indépendante jusqu'à ceux de Roberval. Enfin l'histoire a été juste avec deux : Roberval a été le premier à trouver les solutions et Torricelli le premier à les publier.
Mais la chose n'est pas restée là. En 1658 Christopher Wren a cru que la longitude d'un arc de cicloide est quatre fois le diamètre de la circonférence qui génère le virage précité. Et bien d'autres ils ont été les mathématiciens qui lui ont consacré une partie de son temps, entre que trouvent illustres le Pascal, Huygens, Leibniz, Newton, Jakob et Johann Bernoulli …
Quelles propriétés a-t-il ?Le grand intérêt suscité par ce virage provient des caractéristiques curieuses qu'il possède. En dehors des calculs déjà mentionnés, le cicloide a deux propriétés réellement intéressantes et que, comme pendeloque au début de l'article, d'une certaine manière ils attentent à notre intuition. C'est concrètement sa condition de braquistócrona et sa condition de tautócrona. Nous allons essayer d'expliquer quoi ils signifient ces deux propriétés.
Braquistocronía
Le terme braquistócrona signifie le moindre temps. Le problème du braquistócrona peut être énoncé de la forme suivante :
Vu un point dans un plan et un autre point du même plan situé verticalement plus bas que (sans arriver à être verticalement juste au-dessous de), sans trouver le virage qu'il unit et qui rend le temps minimal que tarde un point mobile à arriver d'à être soumis à l'action de la gravité
La situation des points est quelque chose de pareil :
En principe il ne serait pas étranger de penser que ce virage est une ligne droite (un segment dans ce cas), puisque dans un plan une ligne représente la plus courte distance entre deux points. Mais nous ne parlons pas des distances, mais des temps. Est-ce que la réponse continuera d'être aussi la ligne ? Voyons ce vidéo dans lequel apparaissent deux cicloides et un segment et répondons après :
Comme on peut voir les boules (le point mobile) ils arrivent avant au destin quand ils baissent par le cicloide. C'est-à-dire que dans le cicloide le temps de parcours est plus petit que dans un segment. En fait le cicloide minimise ce temps de parcours c'est-à-dire le cicloide est le braquistócrona. Un curieux: une vérité ?
Tautocronía
Le braquistocronía n'est pas la propriété unique curieuse du cicloide. En fait il a l'une qui est plus surprenante s'il tient. Nous pourrions l'énoncer de la manière suivante :
Supposons que nous ayons un cicloide qui "pend" vers le bas et que nous laissons tomber le long d'elle deux boules depuis différents points. La question consiste en ce que ça est égal depuis que nous elles laissons tomber des points puisque les boules arrivent en même temps à la limite inférieure.
Cette propriété est dénommée tautocronía (qui signifie le même temps). Nous allons le voir dans un vidéo :
Pour prendre fin je vous laisse ce lien. Il m'a semblé intéressant parce qu'en crevant dans chacun du quadrillage qui apparaît nous créons cicloides et nous pouvons graphiquement voir les deux propriétés commentées antérieurement.
Des fontaines :
Ah, je reconnais le lion pour sa griffe.
(En se référant à Newton).
Johann Bernoulli
INFINITUM. Des rendez-vous mathématiques
Comme nous commentons l'autre jour dans le post sur le cicloide, ce virage a donné lieu à beaucoup d'histoires et à disputes entre un mathématicien. La phrase de ce post a été la fin de l'une d'elles.
En 1696 Johann Bernoulli a posé aux membres du Royal Society deux problèmes (à la fin relatifs au cicloide). Il les considérait si compliqué qu'il a donné un délai de six mois pour la présentation des solutions et a offert comment je récompense un livre précieux de son recueil personnel à celui qui résolvait les deux problèmes. Au bout de ces six mois seulement Leibniz avait résolu le premier d'eux. À la vue des résultats Bernoulli il a donné encore six mois de délai … mais tout a suivi égal : aucune nouvelle solution du premier ni aucune solution pour le deuxième.
À la suite de cela Leibniz lui a suggéré qu'il fît arriver ces problèmes à Newton. Celui-ci avait déjà passé son meilleur moment et par cela, comme il paraît, Bernoulli a vu dans cet envoi une manière de le ridiculiser (Bernoulli était partisan de Leibniz dans la dispute sur l'invention du calcul).
Le cas consiste en ce que les problèmes sont arrivés à des mains de Newton une après-midi … et dans l'aube du même jour il les avait déjà résolus. Au matin suivant il a envoyé au Royal Society ses solutions, mais sans s'identifier. Bernoulli a eu besoin de jeter seulement un coup d'oeil leur pour reconnaître le lion comme l'auteur des mêmes.
Quelques décimaux de Pi
Comme vous saurez plusieurs de vous aujourd'hui, le 14 mars, c'est le jour de Pi. si quelqu'un ne sait pas pourquoi, la raison consiste en ce que dans le monde anglo-saxon les dates il s'écrit de la forme le Mois / jour / année. De cette façon l'aujourd'hui serait 3/14.Toutes les années j'écris quelque chose de relatif à Pi ce jour. Et cette année ne va pas être moins. Nous allons célébrer le jour de Pi de forme infinie.
D'une forme infinie ?Nous allons célébrer ce jour de Pi de forme infinie en montrant les diverses sommes et les produits infinis où apparaît ce nombre merveilleux. Nous allons avec celles-ci :
Et pour représentant 6 celle-ci :
Dans elle les numérateurs des fractions sont les nombres premiers excepté 3 et les dénominateurs portent une somme quand le nombre premier est de la forme et d'une soustraction quand il est de la forme.
Ici les nombres impairs apparaissent comme dénominateurs et les signes se relaient + et - entre les fractions.
Et dans cette expression ils apparaissent dans les dénominateurs des carrés de tous les nombres impairs qui ne sont pas multiples de 3.
Je recommande le lien à MathWorld qui apparaît à la fin de l'article pour voir d'autres expressions de ce style dont le découvreur a été Ramanujan.
C'est la suivante :
Je m'ai laissé beaucoup d'expressions dont le protagoniste est Pi. Si vous connaissez quelque chose qui n'apparaît pas dans cet article et vous croyez qu'il est important ou intéressant ne doutez pas de l'écrire dans les commentaires.
D'autres jours de Pi dans Gaussianos :
Des fontaines :
