Un homme de science méritant de tel nom, surtout un mathématicien, expérimente à son travail la même impression qu'un artiste; son plaisir est si grand et de la même nature.
Jules Henri Poincaré
INFINITUM. Des rendez-vous mathématiques
Bien que beaucoup de gens ne le comprennent pas, le mathématicien expérimente une sensation magnifique en réalisant son travail. Comme le dit Poincaré, un grand plaisir; et, comme le dit Isa, un subidón.
Qu'est-ce que vous pensez ?
Je vous laisse le problème de cette semaine, dans ce cas relatif à l'année dans laquelle nous sommes :
Démontrer que pour n'importe quels nombres réels positifs on vérifie que
Une chance.
Cet article est une collaboration envoyée par fede à gaussianos (un arrobe) gmail (un point) com.
Une brève description biographique de Nagel 
Christian Heinrich von Nagel
Christian Heinrich von Nagel, géomètre allemand, est né le 28 février 1803 à Stuttgart, l'Allemagne, et une allemande est morte le 27 octobre 1882 dans aussi Ulm.En 1821 Nagel a commencé à étudier la Théologie, en terminant ses études en 1825. Mais pendant ces quatre années ses intérêts se sont aussi dirigés vers les mathématiques et la physique.
Tant il a été dès qu'il est devenu professeur de mathématiques de secondaire dans la ville allemande de Tübingen. Mais la chose n'est pas restée là. En 1826 Nagel délivre un doctorat grâce à son travail De triangulis rectangulis à ex-aequatione construendis algébrique (Sur des triangles des rectangles construibles depuis une équation algébrique). Plus tard, en 1830, Nagel se déplace à Ulm où il travaille dans le Gymnasium (une école de secondaire préparatoire pour des études supérieures) de cette localité.
Sa contribution principale aux mathématiques est encadrée dans la géométrie du triangle. Dans cet article nous allons voir, entre d'autres choses, deux constructions relatives au triangle qui portent son nom : le point de Nagel et la ligne de Nagel.
Une introduction Comme la distance du baricentro à un sommet est le double de la distance d'au point moyen du côté opposé, l'homotecia avec centre et raison-1/2 transforme le triangle, antimédial ou anticomplémentaire de, dans le triangle, et celui-ci dans son triangle médial ou complémentaire.
L'applet GeoGebra-Java n'a pas pu être exécuté.
Dans une géométrie du triangle il s'appelle parfois complément d'un point à son image dans l'homotecia et l'anticomplément d'à son image dans l'homotecia
Le point, un point, son complément, et son anticomplément ils sont alignés, et situés de telle manière que ce soit le point moyen de et.
Si dans la figure nous plaçons le point dans le circuncentro de, le point est le circuncentro du triangle antimédial (qui est l'ortocentro de), le point est le circuncentro du triangle médial (c'est-à-dire le centre du cercle de 9 points), et la ligne est la ligne d'Euler du triangle.
En revanche si nous plaçons le point à l'uncentre de, le point est l'uncentre du triangle antimédial, du point l'uncentre du triangle médial, et la ligne est la ligne que dans Wolfram MathWorld ils ont décidée de nommer un peu arbitrairement ligne de Nagel, par le fait que l'uncentre du triangle antimédial est le point de Nagel, comme nous démontrerons ensuite.
D'un autre côté le point de Spieker est par définition l'uncentre du triangle médial, et des observations précédentes on finit que l'uncentre, le baricentro, le point de Spieker et le point de Nagel sont alignés, c'est le point moyen du segment et.
Le point de Nagel 
Nous sonnons ceviana de Nagel à la ligne, dans la figure, qui unit un sommet avec le point de tangence de la circonférence exinscrita opposée au sommet avec le côté opposé.
Le point, à l'être l'intersection de l'une tangente commune aux circonférences inscrite et exinscrita opposée à avec la ligne qui unit les centres de ces circonférences c'est un centre d'un homotecia qui transforme la circonférence exinscrita en circonférence inscrite. Cet homotecia porte le rayon au rayon, à la parallèle à et c'est pourquoi perpendiculaire à.
C'est pourquoi le ceviana passe par le point, diamétralement opposé dans le cercle inscrit au point de tangence de ce cercle avec le côté opposé à.
Comme nous avons vu dans le post sur les cercles tritangentes et c'est pourquoi si c'est le point moyen de.
Comme aussi, il résulte que les lignes parallèles et ils sont.
Et comme l'homotecia, qui transforme le triangle en son antimédial, transforme la ligne en ligne qui passe comme parallèle à c'est-à-dire dans le ceviana de Nagel $AE$, en ressort que les cevianas de Nagel concourent dans un point, le point de Nagel et ce point est l'uncentre du triangle antimédial.
Du post sur des cercles tritangentes nous concluons aussi que les cevianas de Nagel bissectent le périmètre du triangle c'est-à-dire les deux parties du périmètre du triangle situées à l'un et d'autre côté de chaque ceviana de Nagel ils ont une longitude égale.
Le point de SpiekerLe point de Spieker est le centre du cercle inscrit dans le triangle médial, ou je circule de Spieker, et il a quelques propriétés assez intéressantes.
Si dans la figure c'est le point moyen de et nous prolongeons le côté jusqu'à de telle manière que, et c'est le point moyen de, et elles sont parallèles et.
Camo $BE$ est perpendiculaire à $AH$, et cette ligne est le bisectriz extérieur de, $A_1F$ elle est parallèle au bisectriz intérieur de, et c'est pourquoi est un bisectriz du triangle médial.
C'est pourquoi les lignes qui unissent le point moyen de chaque côté avec le point de Spieker c'est-à-dire les bisectrices du triangle médial, bissectent le périmètre du triangle, comme les cevianas de Nagel.
Si, les segments sont respectivement égaux aux segments, et les points moyens de ces segments égaux sont situés à la même distance de la ligne.
Alors le centre de gravité d'une masse distribuée uniformément par le périmètre du triangle est dans la ligne $A_1F$. Comme il est aussi dans les autres bisectrices du triangle médial, il en ressort que le point de Spieker est le centre de gravité du périmètre du triangle.
Le point moyen d'es équidistant des points de tangence des circonférences exinscritas opposées à et avec le côté, et c'est pourquoi il est dans l'axe radical de ces circonférences.
Comme l'axe radical est perpendiculaire à la ligne qui unit les centres que c'est le bisectriz extérieur de l'angle dans il en ressort que l'axe radical des deux circonférences exinscritas est le bisectriz du triangle médial, et c'est pourquoi le point de Spieker est le centre radical des trois circonférences exinscritas c'est-à-dire les tangentes dès le point de Spieker exinscritas ont la même longitude envers les circonférences.
Les circonférences de Jenkins de son les trois circonférences tangentes intérieurement à une circonférence exinscrita et extérieurement aux autres deux.
Les trois circonférences de Jenkins se coupent dans le point de Spieker, puisque l'inversion au sujet du cercle orthogonal aux trois circonférences exinscritas, dont le centre est le point de Spieker, transforme les côtés du triangle en circonférences de Jenkins.
Et de plus si le point de Spieker est sur la circonférence inscrite dans, les trois circonférences de Jenkins sont tangentes à une ligne perpendiculaire à la ligne de Nagel, et dans un autre cas le centre de la circonférence tangente aux trois circonférences de Jenkins est dans la ligne de Nagel, parce que cette circonférence est inversée de la circonférence inscrite.
Certes ce dernier point n'est pas, il me paraît, dans ETC. : Sera-t-il nouveau ? Selon Geogebra trilineal pour (6,9,13) il y a sa 166.495 première coordonnée. et il ne se trouve pas à la page de recherche d'ETC.
La figure suivante essaie d'illustrer les propriétés précédentes.
L'applet GeoGebra-Java n'a pas pu être exécuté.
Des fontaines utilisées pour la description biographique :
Dans une compagnie d'amis, les écrivains peuvent discuter sur ses livres, les économistes sur l'état de l'économie, les avocats ses derniers procès et les hommes d'affaires ses dernières acquisitions, mais les mathématiciens ne peuvent pas du tout parler de ses mathématiques. Et le plus profond, il est, son travail, moins compréhensible il est.
Alfred Adler
INFINITUM. Des rendez-vous mathématiques
Je suis d'accord avec Adler. Pour un mathématicien il est très compliqué de lui expliquer quelqu'un qui n'est pas très mis dans le sujet ce qui est ce qu'il fait. Une sécurité que certains d'entre vous vous vous êtes trouvés dans une situation pareille une fois. Les commentaires sont la meilleure manière de compter vos expériences.
Watch Melrose Place (2009) S01E14 Stoner Canyon nowCet article a été provoqué pour apparaître sur la couverture de Remue-moi. S'il t'a plu et tu veux le voter entre dans ce lien et un faisceau click dans Remue-le.
Une introduction 
Dans une lettre dirigée au physicien suisse Nicolas Béguelin, à Euler il commentait le suivant :
Tous les nombres mesurés d'une seule une forme premier dans un son ou des doubles de cousins où et ils sont premiers entre soi. J'ai observé que d'autres expressions similaires de la forme jouissent de la même propriété en donnant à la lettre des valeurs convenables.
C'est, tout nombre qui peut s'exprimer d'une forme unique comment, pour et des cousins relatifs, il est premier ou le double d'un cousin. En particulier, tout nombre impair qui peut s'exprimer d'une forme unique dans le sens précédent est premier.
Mais encore il y a plus. Il sert pas seulement une expression du type, mais existent des certaines valeurs de tels qu'une expression du type accomplit la même propriété. À ces valeurs d'es auxquelles on les appelle numeri idonei (des nombres convenables ou des nombres idoines en espagnol et suitable numbers ou idoneal numbers en anglais).
Au moins c'était la définition initiale de nombre idoine. Mais cette forme de définir ce type de nombres présente quelques problèmes. Par exemple, c'est un nombre idoine (nous le verrons plus loin) et pour lui on accomplit que :
c'est la représentation unique de numéro 9 comme. Mais comme tous savons 9 il n'est pas premier, bien que oui ce soit une puissance d'un cousin, puisque. C'est pourquoi nous devrions dire que c'est un nombre idoine si tout nombre impair qui peut s'exprimer d'une forme unique comment il est premier ou promouvoir d'un cousin, mais on peut accorder un peu plus pour éliminer cette nouvelle possibilité, cela consiste, en ce que le nombre est une puissance d'un nombre premier (dans le premier lien des fontaines vous pouvez voir certains des conditions qui peuvent être ajoutées à la définition pour éviter cela).
En connaissant un peu la forme de travailler comme Euler n'importe quel il peut imaginer qu'il n'est pas resté là, que ses investigations sur ce sujet n'ont pas fini en établissement de la définition de ce type de nombres. En sachant de son caractère un investigateur l'un il tend à penser qu'il a plus essayé d'approfondir le sujet. Et ayant un peu d'information sur ses réussites il n'est pas difficile de se convaincre dont il l'a fait, et très profondément. Puisque oui, ainsi il a été. Euler a élaboré une liste de nombres idoines. C'est la suivante :
Dans un total 65 nombres qu'Euler a vérifié qu'ils étaient idoines (dans le sens commenté antérieurement). En fait il a plus recherché : il a utilisé elle est prête pour construire des nombres premiers même d'huit chiffres.
Arrivés à ce point le plus logique consiste en ce que nous posons la question suivante : l'ensemble de nombres idoines est-il infini ? La réponse est non. En 1934, le mathématicien Sarvadaman Chowla a démontré que l'ensemble de nombres idoines est fini.
En sachant cela une autre question nous surgit : y a-t-il plus de nombres idoines en dehors des trouvés par Euler ? Malheureusement pour cette question il n'y a pas encore de réponse, bien que oui existent des données. Il est connu concrètement qu'existe comme beaucoup encore un nombre idoine, en dehors desquels ils se trouvent dans la liste. Et qui si ce dernier nombre idoine existe en réalité, doit être plus grand que 100000000.
Un plus grand nombre premier trouvé avec les nombres idoinesNous avons commenté avant qu'Euler qu'il a relativement utilisé ces nombres pour trouver des nombres premiers grades (jusqu'à huit chiffres). Le plus grand nombre premier qu'Euler a trouvé avec ce téctica a été. Pour démontrer que ce nombre d'huit chiffres sont premiers il faudrait vérifier que la solution unique de l'équation
Il fait déjà assez de temps nous commentons une propriété curieuse de numéro 26. C'est concrètement celle-ci :
Numéro 26 est le nombre unique naturel qui est situé entre un carré () et un cube ().
C'était Fermat qui a démontré le résultat précité, mais dans le post où nous nous rendions compte de cette caractéristique de 26 aucune épreuve de ce fait ne se rendait. C'était Juanbuffer qui apportait dans un commentaire un pdf avec une démonstration du même (qui si je ne me rappelle pas mal n'était pas en espagnol). Il semble malheureusement que l'on ne peut pas déjà accéder au document précité (au moins je ne peux pas). Pour ce motif je me suis mis à chercher … et je l'ai trouvée. Mon Carlos Ivorra étonné est celui qui m'a fourni l'épreuve précitée. Eh bien, en réalité je ne sais pas si elle est la sienne, mais il apparaît dans l'un des livres dans un format pdf qu'il a comme disponibles dans son web : Une théorie de Nombres.
Dans cet article vous allez pouvoir voir cette démonstration.
En réalité la démonstration que je vais vous présenter du fait de ce que 26 est le nombre unique naturel avec la propriété mentionnée est antérieurement relativement élémentaire. L'intéressant de l'épreuve consiste en ce qu'il sort de l'ensemble des nombres naturels pour démontrer une caractéristique dans. Le fait s'appuyer sur l'ensemble plus grand qui pour démontrer quelque chose dans lui est un argument assez utile, fait dont beaucoup de mathématiciens ont profité quand ils se sont convaincus de la puissance de l'argument précité.
Centrémonos dans le sujet. Nous allons faire la démonstration dans (les nombres entiers). Alors l'énoncé du résultat à démontrer le suivant :
Un théorème :
Les solutions uniques entières de l'équation
ils sont.
Une démonstration :
Un coup d'oeil simple à l'équation nous dit que cela ne peut pas être un nombre pair. Si le dehors nous aurions que ce serait aussi une paire. La contradiction se trouverait dans le fait que la partie droite de l'égalité serait divisible entre 8, mais la partie gauche ne serait pas même ni divisible entre 4. C'est pourquoi cela doit être un nombre impair.
Nous sortons maintenant de pour nous enfoncer dans l'anneau. Nous considérons que l'équation précédente dans cet anneau son expression peut se rendre factorizada de la manière suivante :
Nous considérons dans cet anneau la norme suivante :
Il est simple de vérifier que la norme précitée est multiplicativa, cela consiste, en ce qu'elle est positive pour tout élément différent de zéro de, qu'il y a zéro zéro pour l'élément et que la norme d'un produit de deux éléments d'es le produit des normes de proverbe éléments.
Supposons maintenant qu'ils accomplissent l'équation initiale et prenons les éléments et de. Tout élément qui est un diviseur commun d'eux deux doit aussi diviser à sa somme, et à sa différence. En prenant des normes dans cette situation nous aurions le suivant :
C'est pourquoi. Les paires uniques de valeurs qui accomplissent ce sont ceux suivant :
Avec les deux premières possibilités nous obtenons les éléments et-1$ de qui sont unités de cet anneau. Dans des autres cas nous obtenons les éléments et, tous avec norme la paire (2 ó 4), donc ils ne peuvent pas diviser à, dont la norme () est impaire.
Avec cela nous arrivons au suivant : et voilà qu'ils sont premiers entre soi.
Maintenant, nous avions l'équation initiale factorizada de la forme suivante :
En unissant ces deux faits nous avons que le produit de deux éléments dont ils sont premiers est entre soi égal à un cube. Cela oblige à que chacun de ces éléments est lui même un cube. En particulier :
Développons maintenant la partie droite de cette dernière égalité :
En égalisant des coefficients des expressions initiales et finales nous arrivons à l'égalité suivante :
Une analyse simple des valeurs de et il nous porte à que les valeurs uniques possibles sont et (rappelons-nous que et ce sont des nombres entiers). Pour obtenemos que et d'où le fait que. Et pour obtenemos et c'est pourquoi qui est le résultat cherché.
Connaissez-vous une autre démonstration de ce fait ? Les commentaires sont les votres.
À la vue du titre du post, il est assez clair, le thème du problème de cette semaine: une vérité ? Là il va :
Il calcule le plus grand commun diviseur suivant :
Une chance.
